Funzione di trasferimento, forma canonica di Bode

Teoria dei controlli

La forma canonica o di Bode della funzione di trasferimento è molto utilizzata, in quanto consente di ricavare con relativa facilità il diagramma, detto diagramma di Bode, che rappresenta il comportamento di un sistema nel dominio della frequenza o di \omega.

K\frac{(1+T_1s)+...(1+\frac{2\zeta_1s}{\rho_{n1}}+\frac{s^2}{\rho_{n1}^2})+...}{s^n(1+\tau_1s)+...(1+\frac{2\xi_1s}{\omega_{n1}}+\frac{s^2}{\omega_{n1}^2})+...}

Ai vari parametri presenti nella formula, è possibile associare un significato fisico, che permette di ricavare informazioni, estremamente utili, sul comportamento del sistema.

 

Parametro Significato
K Guadagno statico del sistema: nel caso in cui n sia uguale a zero (assenza di poli o zeri nell’origine), corrisponde al rapporto tra ingresso ed uscita con ingresso costante ed a regime.
n Numero di poli nell’origine, se positivo. Se negativo, esprime il numero di zeri. A grandi linee, il parametro rappresenta se il sistema manifesta le proprietà di un circuito integratore, nel caso in cui ci fossero poli nell’origine, o di derivatore, ne caso un cui nell’origine ci fossero degli zeri.
T, \tau Costanti di tempo: sono collegate al tempo richiesto perché ciascuna componente del sistema evolva nel tempo. Normalmente, la rapidità di reazione di un sistema è caratterizzato dalle sue costanti di tempo più lente.
\zeta,  \xi Coefficienti di smorzamento: sono collegati alla rapidità con cui un sistema perde la propria energia. Normalmente un sistema poco smorzato, dopo una sollecitazione, risponderà continuando ad oscillare per lungo tempo. Mentre, in un sistema con smorzamento maggiore, le oscillazioni si arresteranno rapidamente.
\rho_n,  \omega_n Pulsazioni naturali di oscillazione: sono collegate alle frequenze di risonanza del sistema. In sistemi con smorzamento nullo,  \omega_n corrisponde alla frequenza con cui il sistema comincia ad oscillare dopo una sollecitazione.

 

I termini binomi contenenti T o \tau, e quelli trinomi contenenti \rho_n\omega_n, possono comparire più di una volta o non comparire affatto, all’interno della funzione di trasferimento. Mentre i termini K, s^n, possono comparire al massimo una volta.

Negli articoli successivi, si esamineranno alcuni esempi di utilizzo della formula, facendo riferimento a dei semplici circuiti elettrici.

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